Die goue verhouding is 'n verhouding wat sedert antieke tye as die mees perfekte en harmonieuse beskou word. Dit vorm die basis van baie ou strukture, van standbeelde tot tempels, en kom baie algemeen voor. Terselfdertyd word hierdie verhouding uitgedruk in verrassend elegante wiskundige konstruksies.
Instruksies
Stap 1
Die goue proporsie word as volg gedefinieër: dit is so 'n verdeling van 'n segment in twee dele dat die kleiner gedeelte op dieselfde manier na die groter verwys as die groter deel na die hele segment verwys.
Stap 2
As die lengte van die hele segment as 1 geneem word, en die lengte van die grootste deel as x geneem word, sal die gesoekte verhouding deur die vergelyking uitgedruk word:
(1 - x) / x = x / 1.
As ons albei kante van die verhouding met x vermenigvuldig en die terme oordra, kry ons die kwadratiese vergelyking:
x ^ 2 + x - 1 = 0.
Stap 3
Die vergelyking het twee werklike wortels, waarvan ons natuurlik net belangstel in die positiewe. Dit is gelyk aan (√5 - 1) / 2, wat ongeveer gelyk is aan 0, 618. Hierdie getal druk die goue verhouding uit. In wiskunde word dit meestal met die letter den aangedui.
Stap 4
Die getal φ het 'n aantal merkwaardige wiskundige eienskappe. Byvoorbeeld, selfs uit die oorspronklike vergelyking word gesien dat 1 / φ = φ + 1. Inderdaad, 1 / (0, 618) = 1, 618.
Stap 5
'N Ander manier om die goue verhouding te bereken, is om 'n oneindige breuk te gebruik. Vanaf enige willekeurige x, kan u 'n breuk opeenvolgend konstrueer:
x
1 / (x + 1)
1 / (1 / (x + 1) + 1)
1 / (1 / (1 / (x + 1) + 1) +1)
ens.
Stap 6
Om die berekening te vergemaklik, kan hierdie breuk voorgestel word as 'n iteratiewe prosedure, om die volgende stap te bereken, moet u een byvoeg by die resultaat van die vorige stap en een te deel deur die gevolglike getal. Met ander woorde:
x0 = x
x (n + 1) = 1 / (xn + 1).
Hierdie proses konvergeer, en die limiet daarvan is φ + 1.
Stap 7
As ons die berekening van die resiprok vervang deur die onttrekking van die vierkantswortel, dit wil sê, voer ons 'n iteratiewe lus uit:
x0 = x
x (n + 1) = √ (xn + 1), dan sal die resultaat onveranderd bly: ongeag die oorspronklik gekose x, die iterasies konvergeer na die waarde φ + 1.
Stap 8
Meetkundig kan die goue verhouding met 'n gewone vyfhoek gebou word. As ons twee kruisende diagonale daarin teken, sal elkeen die ander streng in die goue verhouding verdeel. Volgens die legende behoort hierdie waarneming aan Pythagoras, wat so geskok was oor die gevind patroon dat hy die regte vyfpuntige ster (pentagram) as 'n heilige goddelike simbool beskou het.
Stap 9
Die redes waarom dit die goue verhouding is wat vir iemand die harmonieusste lyk, is onbekend. Eksperimente het egter herhaaldelik bevestig dat die proefpersone wat opdrag gegee is om die segment in twee ongelyke dele te verdeel, die mooiste doen in verhoudings baie naby aan die goue verhouding.
